عنوان مقاله: مفهوم تکامل در ریاضیات (یک بحث فلسفی)
نویسنده: پرویز شهریاری
آدرس پست الکترونیکی نویسنده/ مترجم:
تاریخ تهیه: 1385
ارسال کننده: بنیاد علمی و فرهنگی - تاریخ ارسال: 1388
آدرس پست الکترونیکی ارسال کننده:gerami_scf@yahoo.com
موضوع اصلی: فلسفه - موضوع فرعی: تکامل در ریاضیات
کلیدواژههای اصلی به ترتیب اهمیت: نسبی بودن، نظام تولیدی، نظام اجتماعی
کلیدواژههای فرعی به ترتیب اهمیت: قانونهای طبیعت
چکیده مقاله
ریاضیات در مرحلهای از تکامل خود پاسخگوی محدودهای از نیازهای عملی است و نسبی بودن درستی حکمهای آن، به هیچ وجه به معنی بیاعتباری آنها نیست. ریاضیات نه تنها همیشه زیر تأثیر تولید اجتماعی است، بلکه از مجموعه شرطهای اجتماعی اثر میپذیرد. ولی نباید از نظر دور داشت که رابطه ریاضیات با نظام اجتماعی و تولیدی رابطهای غیرمستقیم است. ریاضیات هم مانند هر دانش دیگری، بازتابی از قانونهای موجود در طبیعت و به تعبیری کلیترین آنها است. بنابراین از جهتی هم میتوان گفت که ریاضیات روشی برای کشف قانونهای طبیعت است. هرچه زندگی عملی جامعه پیچیدهتر و هرچه دامنه نفوذ دانش در طبیعت گسترده میشود. به ناچار بیان ریاضی آنها پیچیدهتر و گستردهتر میگردد و تکامل یعنی همین حرکت به سوی پیچیدگی و گستردگی.
مقدمه
شناخت، عبارت است از بازتاب طبیعت به وسیله انسان. ولی این بازتاب ساده، مستقیم و تمام و کمال نیست؛ جریانی است که از یک رشته تجربه تنظیم و تشکیل مفهومها و قانونها، به وجود آمده است.
پیش از آن که به اصل موضوع، یعنی مفهوم تکامل در ریاضیات بپردازیم، یادآوری چند نکته را ضروری میدانیم:
1 . انسان چگونه داوری میکند؟ آیا میتوان داوری و استدلال را از «هیچ» آغاز کرد و از همان آغاز، «استدلالی» صحبت کرد؟ آیا میتوان ضمن بحث با کسی که هیچ چیز را نمیپذیرد و با وجود «برهانی بودن» بحث، حتی بدیهیترین حکمها را منکر میشود و از طرف مقابل میخواهد تا «برهان»، «استدلال» و «داوری» خود را از صفر آغاز کند، به تفاهم رسید؟
بگذارید خاطرهای یاد کنم. در سالهای اول دبیرستان، یعنی سالهای هفتم، هشتم تحصیلی، دبیر هندسهای داشتیم فاضل و پرهیزکار. مردی بود بیاندازه زحمتکش و دلسوز و من باید اعتراف کنم که دست کم، بخش عمده علاقهای را که به ریاضیات پیدا کردم، مدیون او هستم. در نخستین جلسه درس، خیلی ساده استدلالی بودن هندسه را به ما تلقین کرد. او گفت: هندسه یعنی دانش «چرا»، در اینجا هر کس ادعایی کرد، شما باید بپرسید «چرا؟» و تا زمانی که قانع نشدهاید، نباید از گفتن چرا، دست بردارید.
به همین دلیل وقتی میخواست قضیهای را ثابت و یا مسالهای را حل کند، یکی از دانشآموزان را پای تخته میبرد و از او میخواست، هرجا احساس میکند چیزی مبهم و نامفهوم باقی مانده است، بپرسد «چرا؟» ولی اغلب پیش میآمد که دبیر با شکیبایی تمام تلاش خود را به کار میبرد تا فرد پرسشگر را قانع کند، ولی اغلب با رگبار چراهای دانشآموزان دیگر روبهرو میشد. اینجا بود که دبیر با همه نگهداری خود، از جا درمیرفت، لرزشی لبهایش را فرامیگرفت و با خشمی ناپیدا صدایش را بلند میکرد که آقا آنچه را میبینی و با همه وجودت احساس میکنی، منکر مشو... و یک بار، تمام ساعت را در این باره صحبت کرد. گفتوگو میتواند و باید بر مفهومهای مورد قبول دو طرف آغاز شود.
اگر قرار باشد، یکی از دو طرف هیچ تفاهمی در قبول بدیهیترین موضوعها نداشته باشد، از طرف دیگر هیچ کاری ساخته نیست. بنابراین، داوری امری نسبی است. زیرا براساس موضوعهای پذیرفته شده انجام میگیرد و هرگز نمیتوان داوری یا استدلال را از هیچ یا صفر آغاز کرد. یعنی موضوعهای پذیرفته شده براساس تجربهها و نتیجهگیریهای شخصی، که همیشه تجربهها و نتیجهگیریهای گذشته و حال هم به آنها شکل میدهد، به وجود میآید؛ بنابراین طبیعی است که خود شیوه داوری و نحوه استدلال هم تکامل بپذیرد و از مرحله سادهتر و بدویتر به مرحلههای پیچیدهتر و متنوعتر برسد.
این موضوع پذیرش مفهومهای بدیهی را در دیگر عرصههای اندیشه انسانی هم میبینیم که یکی از آنها عرصه «تعریف» است. در هر مقولهای ناچاریم سادهترین مفهومها را، بدون تعریف بپذیریم، تا بتوانیم براساس این پذیرش، بری تعریف مفهومهای پیچیدهتر بنیانی داشته باشیم.
برای نمونه شما نمیتوانید برای تعریف عمل جمع، تعریفی ارایه دهید. هر تعریفی از آن منجر به بازی با واژهها میشود: «جمع یعنی افزودن واحدهای یک عدد بر واحدهای عدد دیگر»، «جمع یعنی روی هم ریختن دو یا چند عدد» ... در این حالتها، تنها «جمع» را با واژههای «روی هم ریختن» یا «افزودن» شرح دادهایم، یعنی واژهای را به جای واژههای دیگر نشاندهایم. البته اگر عمل جمع را بدون تعریف و به همان صورت شهودی مورد قبول بپذیریم، آن وقت به سادگی میتوانیم برای تفریق یا ضرب که عملهای بغرنجتری هستند، تعریفهای روشن و قانعکنندهای پیدا کنیم.
- وقتی میگوییم: a-b=c ، یعنی b+c=a .
- وقتی میگوییم: a×b، یعنی جمع متوالی b با خودش، به شرطی که تکرار مرتبهها برابر a باشد.
روشن است که میتوان مفهوم تفریق را به عنوان مفهوم بنیانی، بدون تعریف پذیرفت و سپس با پذیرفتن آن راهی برای تعریف جمع باز کرد. سرتاسر ریاضیات پر است از چنین مفهومهای بنیانی نخستین و غیر قابل تعریف. حتی مفهومی مانند «مجموعه» که به صورت گستردهای بر تمامی ریاضیات سایه انداخته است، به خودی خود قابل تعریف نیست. باید مفهوم «مجموعه» را به همان صورتی که احساس میکنیم بپذیریم و سپس وارد بحثهای دیگر آن بشویم. آیا تعریفها قابل تغییرند؟ بله، تعریف براساس شناخت ما از واقعیتهای عینی تنظیم میشود و بنابراین، با توجه به روند تکاملی شناخت، به هیچ تعریفی نمیتوان مهر جاودانگی زد. برای نمونه میتوانید تعریف خط راست، تعریف بعد و یا تعریف تابعی را در تاریخ ریاضیات دنبال کنید. برای این که در اینجا وارد بحثهای خاص ریاضی نشویم، از این سیر تاریخی میگذریم.
ولی خواننده علاقهمند را میتوان برای نمونه به کتاب «داستان مجموعهها» حواله داد. در آنجا میبینید که این تعریفها چگونه ضمن پیچیدهتر شدن شناخت آدمی و در نتیجه بغرنجتر شدن مفهومهای ریاضی، از مرحلهای به مرحله دیگر تکامل یافتهاند. در راه تکامل این تعریفها، چه دشواریها و حتی کج راهیها ظاهر شده است، چه بسیار کسان و حتی ریاضیدانان، خود را مواجه با بنبست دیدهاند و در سر پیچها، اعتماد خود را نسبت به دانش و شناخت از دست دادهاند، ولی ریاضیات سرفراز و زنده، البته گاهی به سادگی و گاهی با دشواری، همه پیچها را پشت سرگذاشته است و بعد از این هم خواهد گذاشت "به قول خانم «روزا پتر» ریاضیدان مجارستانی، در کتاب زیبای خود «بازی با بینهایت»".
... ریاضیات پدیدهای ساکن و بسته نیست، ریاضیات دانشی زنده و پرتحرک است که دایم راه خود را به طرف جلو میگشاید. هر زمانی که خواستهاند ریاضیات را درون محدوده بستهای زندانی کنند، دیر یا زود توانسته است راهی به سوی آزادی بگشاید و قابلیت زنده بودن خود را نشان دهد...
2. از همین بحث کوتاهی که درباره «داوری»، «استدلال»، «تعریف» و ... داشتیم، روشن میشود که در دانش، حکم مطلق و جاوید وجود ندارد. هرگونه مطلقسازی در دانش و از جمله ریاضیات، میتواند به مانعی، ولو گذرا، در برابر پیشرفت دانش تبدیل شود. اگر کسی بپرسد: «آیا حکم مجموع سه زاویه مثلث قائمه است، درست است، پاسخ میدهیم: هم بله و هم نه. اگر با هندسه اقلیدسی سروکار داشته باشیم، این حکم درست است و اگر در یکی از هندسههای نااقلیدسی کار کنیم، حکمی است نادرست. میپرسید: حقیقت کدام است، این یا آن؟ پاسخ میدهیم: هم این و هم آن. وقتی با فاصلههای محدود و برای نمونه در حدود فاصلههای روی زمین سروکار داشته باشیم، قضیه هندسی اقلیدسی صدق میکند، ولی اگر مثلثی را در نظر بگیرید که راسهای آن در کهکشانهای مختلف باشد، دیگر این حکم نادرست است، بنابراین این منطق که اگر حکمی را پذیرفتیم، به معنای آن است که نقض آن را به طور قاطع رد کردهایم، از دیدگاه دانش امروز، درست نیست.
در حکمهای مربوط به دانش ناگریز به صورت انتزاعی، نمیتوان گفت: با این و آن. باید گفت: با شرطهایی این و با شرطهای دیگری آن و شما میخواهید طول پارهخط راستی را پیدا کنید که بین دو نقطه مفروض است. اگر این دو نقطه در دو انتهای یک خیابان مستقیم و برای نمونه در شهر تهران باشد، میتوانید با اطمینان خاطر، طول خیابان را اندازه بگیرید. ولی اگر این دو نقطه یکی در تهران و دیگری در پاریس باشد، دیگر نمیتوان طول پارهخط بین دو نقطه را از روی زمین اندازه گرفت که از دو نقطه مفروض میگذرد. در حالت اول لازم نبود کروی بودن زمین را به حساب آورید، در حالی که در حالت دوم، توجه به این امر لازم است.»
سفسطهبازان، در این حالت به بازی با واژهها میپردازند و میپرسند: آیا این حکم که «هیچ حکمی مطلق نیست» حکمی مطلق است یا نسبی؟ و بعد فریاد برمیآورند که: دست کم یک حکم پیدا کردیم که مطلق بودن آن حتمی است. این بازی با واژهها یا بهتر بگوییم بازی ذهن است که ارزشی ندارد. در واقع درباره همه حکمهای کلی درست، میتوان به همین ترتیب سفسطه کرد. با این تعبیر برای نمونه حکم «غیرممکن، غیرممکن است» متنافض میشود. همین نوع بحث را از «موریس مترلینگ» شنیدهاید که میگفت: «ما میپذیرم که فلان آدم میتواند همه کارها را انجام دهد. یعنی به انجام هر کاری قادر است.» اکنون میپرسیم: «آیا این آدم قادر است چنان سنگی را بسازد که نتواند آن را بلند کند؟ هر پاسخی حکم اصلی را نقض میکند» ولی این بازیهای ذهنی با واژهها، جز سفسطه نیست برای تعیین درستی یک حکم، باید به تجربه و عمل رو آورد نه به ذهن و به «صغرا و کبرای» ساخته ذهن.
داستان گالیله را به خاطر دارید که وقتی دانشمندان هم پای خود را فراخواند تا با دوربین نجومی او آسمان را بنگرند و با چشم خود ببینند که «فلکهای بتلمیوسی»، چیزی جز وهم نیست، هیچ کس حاضر نشد به این پیشنهاد ساده و قانعکننده او گوش دهد. «ریاضیدان» به محاسبه پرداخت که آیا ادعای گالیله با قانونهای ریاضی سازگاری دارد یا نه، هوادار منطق به سراغ صغرا و کبرا رفت تا ببیند تناقضی در سخنان گالیله پیدا میشود، فیلسوف این پرسش اساسی را مطرح کرد که آیا میتوان به چنین طرح ادعایی دل بست و ... گالیله دانشمند، شگفتزده و سرگردان مانده بود چطور به این «آقایان فاضل» بفهماند، به جای همه اینها، میتوانید چشمان خود را باز کنید و برای چند ثانیه، آنچه را که من میگویم با دیدگان خود ببینید ...
سرانجام هم گالیله با همین «استدلالها» و یا بهتر بگوییم با همین سفسطهها محکوم و مجرم شناخته شد. میپرسند: اگر حتی به حکمهای ریاضیات هم نمیتوان اعتماد در تضمین داشت، چه تضمینی برای درستی نسبی آنها وجود دارد و سرانجام تکلیف آدمی در این ادعای بی انتها، که هر مسیری از آن، هم درست است و هم نادرست، چیست و چگونه میتواند راه را به سر منزل مقصود برساند. این درست نیست که هر مسیری هم درست است و هم نادرست. دقیقتر این است که هر حکمی و هر روشی که در عمل و پراتیک به کار میرود و تا اندازهای که به کار میخورد، درست است.
مشاهده، تجربه و نیاز آدمی، سرچشمه اصلی پیدایش همه دانشها و از جمله ریاضیات است. ولی کار به همین جا پایان نمییابد. برای نمونه در ریاضیات، از یک طرف منطق درونی موجود رو به جلو آن، و از طرف دیگر نیاز دانشهای دیگر، آن را به پیش میراند. در واقع، در هر مرحلهای از پیشرفت، ریاضیات میتواند تا مرزی بازگوکننده قانونهای طبیعت باشد. هرچه ریاضیات پیش برود، این مرز بازتر میشود و گستره وسیعتری از طبیعت، طبیعت به معنای عام خود را، دربرمیگیرد. در هر حال، میزان درستی یا نادرستی قانونهای آن، دوباره و با توجه به عمل، معین میشود.
این در واقع چیزی جز همان قانون نفی در نفی نیست: ریاضیات در مرحلهای با جدا شدن از واقعیت یعنی بیرون از خود، که به یاری انتزاعهای پیاپی مفهومها انجام میگیرد، نخستین نفی را انجام میدهد (نفی سرچشمه خود، یعنی عمل و زندگی و فرورفتن در تجربهها)، و سپس دوباره از میان انبوه مفهومهای انتزاعی، به عمل رو میآورد و خود را با آن محک میزند و این، نفی دوم است (نفی تجریدی بودن ریاضیات و رو آوردن به سرچشمه اصلی خود، یعنی عمل و زندگی). ولی این بار در مرحله بالاتری از نیاز عملی قرار داریم، مرحلهای که با عمل قبلی، تا اندازه زیادی، از دیدگاه کیفی فرق دارد. کوتاه سخن، ریاضیات، دایم با قانون نفی در نفی رشد میکند و تکامل مییابد.
ریاضیات، در مرحلهای از تکامل خود، پاسخگوی محدودهای از نیازهای عملی است و نسبی بودن درستی حکمهای آن، به هیچوجه به معنی بیاعتباری آنها نیست.
زمانی بود که در سرزمین باستانی بابل و یا در مصر باستان، دهقانان کرانههای رودخانههای دجله و فرات و یا رودخانه نیل، نیاز خود را برای تقسیم زمین و مرزبندی قطعهها، که بعد از هر طغیان رود، لازم بود به نحوی برآورد کنند، آنها برای محاسبه مساحت یک چهار ضلعی، از این قانون استفاده میکردند: مساحت یک چهار ضلعی برابر است با نصف مجموع دو ضلع روبهروی آن، ضرب در نصف مجموع دو ضلع روبهروی دیگر.
میدانید این قاعده تنها برای حالتی که چهارضلعی مستطیل باشد، درست است، ولی از آنجا که قطعه زمینهای زراعی مورد تقسیم، کم و بیش به مستطیل نزدیک بودند، و باز از آنجا که اشتباه ناشی از عدم دقت، ناچیز بود هیچ دشواری در عمل پیش نمیآمد.
چند سال پیش، همراه با یکی از همکاران، به علیشاه عوض، منطقه شهریار رفته بودم. دوست من میخواست زمینی بخرد که مستطیلی شکل نبود. از من میخواستند مساحت آن را با دقت محاسبه کنم، در آغاز از روش مصری و بابلی استفاده کردم و نتیجه را به آنها گفتم. روی همان محاسبه، معامله انجام شد. ولی سپس در منزل به محاسبه دقیقتر پرداختم. شکل زمین را با مقیاس کوچکتری رسم کردم و تلاش کردم با قاعدههای رسمی امروزی، مساحت را به دست آورم. اختلاف این محاسبه با محاسبه پیشین، برای زمینی که بیش از 1500 متر مربع بود، اندکی کمتر از یک متر مربع شد. یعنی در محاسبه تقریبی، زمین را اندکی کمتر از یک متر مربع ارزیابی کرده بودم. اشتباهی کمتر از یعنی کمتر از 07/0 درصد.
ولی زندگی انسان در نوع زندگی هزاران سال پیش خود متوقف نشد، نیازهای او به هندسه، از تقسیم زمینهای زراعی، فراتر رفت. در نتیجه، همراه با آن و یا گاهی اندکی جلوتر یا عقبتر از آن، قاعدههای مربوط به محاسبه مساحت و حجم هم دقیقتر شد. تا جایی که در زمان لایبنیتز، با مفهوم مساحت انتگرالی پیوند خورد.
در واقع، ریشه دشواری در این است که انسان قانونساز نیست، بلکه کشفکننده قانونهای طبیعت است. کار انسان این است که قانونهای موجود بین چیزها و پدیدههای طبیعت و جامعه را کشف کند، نه این که قانون ساخته ذهن خود را بر آن تحمیل کند. معتقدیم که جهان بیرون از ذهن و قانونهای حاکم بر آن، شناختنی است، ولی شناسایی این قانونها یکباره با تفکر خاص ممکن نیست. احساس، مشاهده و تجربه طولانی نسلها، همراه با تجربه ذهنی و اندیشه آدمی لازم است تا در هر مرحله، نسبت به مرحله قبلی، بیشتر به واقعیت عینی و دلبستگیهای موجود بین آنها پی ببریم. همین آگاهی نسبی بر واقعیت بیرونی و همین درک نسبی بستگیها و قانونهای موجود در طبیعت و جامعه است که دانش نام دارد.
جادوگری که در ذهن خود دلبستگیهایی ساختگی بین چیزها و پدیدهها تصور میکند، فالبینی که بین خطوط و شیارهای دست آدمی یا فنجان قهوه، با پدیدههایی به کلی دور از آنها، مانند سرنوشت آدمی، رابطهای جستوجو میکند، به دانش دست نمییابد. زیرا آنچه که او «بستگی» مییابد، ساخته توهم و خیال او و یا همفکران اوست که همه چیزها و پدیدههای طبیعت و جامعه، در بستگی متقابل با همدیگر عمل میکنند، ولی برای پیدا کردن این بستگی متقابل و نوع عملکرد آنها و مصداقی که در اینجا یا آنجا پیدا میشود باید به دانش و روشهای علمی مراجعه کرد نه به خیالبافی و ایدهآلسازی.
این چند جمله را از «آندره تولموگورف» بیاوریم تا دیدگاه خود را روشنتر بیان کرده باشیم. او در مقاله خود به نام «نظریه احتمال» در کتاب بی اندازه جالب «ریاضیات، جوهر، روش و کارآیی آن» مینویسد: «پیشرفت درک و معرفت آدمی، تنها مربوط به برقرار کردن بستگیهای حقیقی بین پدیدهها نیست، بلکه به این هم مربوط است که بتواند بستگیهای خیالی را رد کنند، بلکه بتوانند استدلال دو گروه پدیده را در قضیههایی که مطرح است، ثابت کنند. فاش کردن تلاشهای بیمعنای فالبینان و هواداران اخترشماری، که میخواهند بین دو گروه پدیدهای که هیچ رابطهای با هم ندارند، بستگی برقرار کنند، یکی از این حالتهاست.»
طبیعی است، درباره عدم وابستگیهایی از این قبیل، نباید به صورت مجرد و مطلق اندیشید. برای نمونه، بنا بر قانون جاذبه عمومی، تردیدی نیست که حرکت انتقالی قمرهای مشتری، بر پرواز گلوله توپ اثر میگذارد، ولی در ضمن روشن است که در عمل میتوانیم از اینگونه اثرها بگذریم. از نظر فلسفی شاید بهتر باشد که به جای استقلال، از بستگی غیراساسی در موقعیت مشخص مفروض، سخن رود. ولی به هر حال، استقلال حادثهها، به مفهومی که توضیح دادیم و بنا به درکی که از این اصطلاح داریم، به هیچوجه اصل کلی ارتباط پدیدهها را نقض نمیکند، بلکه تنها به عنوان تکمله لازم آن به شمار میرود.
برآورد احتمال، به وسیله دستور و با فرض مستقل بودن رخدادها، برای حالتی هم که رخدادها در آغاز مستقلاند، ولی جریان خود پدیدهها، آنها را به هم مربوط میکنند، سود عملی دارد. برای نمونه میتوان احتمال برخورد ذرههای تشعشع کیهانی با ذرههای محیطی که در آن نفوذ کرده است را با این فرض محاسبه کرد که حرکت ذرههای محیط، پیش از ورود ذرههای سریع تشعشع کیهانی در آن، ارتباطی به جابهجایی خود این ذرهها ندارد. میتوان احتمال برخورد گلوله دشمن را با پره ملخ هواپیما، با این فرض محاسبه کرد که موقعیت این پره نسبت به محور آن، بستگی به مسیر محور گلوله ندارد و ... از این نمونهها، هر قدر که بخواهید میتوان پیدا کرد. حتی میتوان گفت، در هر جایی که قانونمندیهای احتمال، به روشنی ظاهر میشود، باز هم با تعداد بسیار زیادی عامل (که اگر به کلی مستقل از یکدیگر نباشند، بستگیهای ضعیفی با هم دارند)، سروکار داریم.
این موضوع به هیچوجه به این معنا نیست که همهجا میتوانیم، به فرض استقلال و عدم وابستگی پدیدهها، به بحث انتقادی متوسل شویم. برعکس، این موضوع ما را وا میدارد که با دقت تمام، محک و معیاری برای پژوهش در فرضیه عدم وابستگیها به دست آوریم. به جز این، باید با دقت تمام، حالتهای مرزی را که در آنجاها لازم است بستگی بین عاملها را به حساب آوریم، بررسی کنیم. ولی این بستگی چنان است که قانونمندیهای احتمالی هنوز میتوانند به صورت معتبر و پیچیدهای ظاهر شوند.
«اندیشه خاص» که گاهی هم نام «عقل سلیم» را به خود میگیرد، در بسیاری حالتها در تاریخ دانش فاجعهآمیز بوده است. آدمی هر روز میدید که خورشید از مشرق طلوع و در مغرب غروب میکند و «عقل سلیم» به او حکم میکرد که زمین ساکن است و خورشید در 24 ساعت یک بار، به دور آن میچرخد. آن وقت انگشت حیرت به دهان برده بود که خورشید، این فاصله عظیم را، در این زمان کوتاه، چگونه میپیماید! تازه وقتی هم که در نتیجه مشاهدههای اخترشناسی و دقت در بستگیهای موجود و کشف قانونهایی از این بستگیها، دانشمندانی پیدا شدند و پیشنهاد کردند که ای مردم دست از حیرت خود بردارید، هیچچیز شگفتی وجود ندارد بلکه شگفتی تنها در «عقل سلیم» شماست؛ کافی است جای زمین و خورشید را عوض کنید و بپذیرید که زمین به دور خورشید میگردد، نه برعکس. فریادها برآمد که: «به ساحت مقدس عقل انسانی توهین شده است. میخواهند استادان بزرگی همچون بتلمیوس و ارسطو را بی اعتبار کنند و تازه، علیه دستگاه کلیسا هم برخاستند و آن وقت... چنان پیش آمد که همه میدانیم. دستگاه بازبینی اندیشهها (تفتیش عقاید) به کار افتاد. جیوردانو برونو به آتش افکنده شد، گالیله ناچار شد از «ادعای نادرست» خود مبنی بر حرکت زمین به دور خورشید، توبه کند و «گناه» نکرده را به خود بگیرد ... ولی همان دم که توبه میکرد، با پایش به زمین اشاره داشت که با وجود این میچرخی.»
اندیشه عامی با «تفکر خالص» و «عقل سلیم» یا بهتر بگوییم «خیالبافی» و فرورفتن در قانونهای «من درآوردی» تفاوت دارد. اندیشه علمی از مشاهده و تجربه آغاز میشود و به انتزاع و تعمیم در نتیجهگیری میانجامد و سپس دوباره این نتیجهگیری در صحنه عمل و زندگی به محک آزمایش میخورد و با کشف نارساییهای آن، منجر به دقیقتر شدن تجربهها و تعمیم و بنابراین، نتیجهگیریها میشود و در این راه شیوه مشاهده هم مجهز و مجهزتر میشود و به نوبه خود به بهتر شدن نسبی نتیجهگیریها اثر میگذارد و این «نفی در نفی» همچنان ادامه مییابد و همه چیز در مرحله کاملتر و پیشرفتهتر از مرحله پیش، و برابر آدمی قرار میگیرد.
به قول «آ.و. آکاساندروف»: «... نیازهای جامعه، به عنوان نیروی محرکهای، پیشرفت حساب را تعیین میکرد و در این روند با پیشرفت، عمل با تفکر انتزاعی که آزمایشهای عملی را تعمیم میداد، در تاثیر متقابل دایمی بود. مفهومهای انتزاعی که بر مبنای عمل به وجود میآید، به سلاح نیرومندی برای عمل تبدیل میشود و در ضمن، جریان استفاده عملی پیش میرود. انتزاع از سالهای غیراساسی، به کشف حقیقت امر کمک میکند و در حالتهایی که ویژگیها و بستگیهای کلی انتزاعی، نقش تعیین کنندهای را بازی میکنند، به پیدا شدن روش کلی راه، یاری میکند به جز آن، گاهی اندیشه بیش از اندازهای که به طور مستقیم مورد نیاز مسالههای عملی است، جلو میرود. برای نمونه مفهوم عددهای بزرگی مانند ملیون و میلیارد، بر مبنای دستگاه شمار و پیش از آن که مورد استفاده عملی آنها مطرح شود، به وجود آمد. از اینگونه نمونهها، در تاریخ دانش ما کم نیست. کافی است، عددهای موهومی را به یاد بیاوریم.
اینها تنها حالت ویژهای از شناخت رابطه متقابل عمل و اندیشه انتزاعی، عمل و نظریه را نشان میدهد.»]جوهر، روش و کارآیی ریاضیات، جلد اول، ترجمه فارسی[ و یا: «... مفهومهای تازه، تنها بر پایه مسالههایی که به وسیله این مفهوم حاصل میشوند و تنها بر پایه قضیههایی که از این مفهومها استفاده میکنند، به وجود میآید، تکامل مییابد، دقیق میشود و تعمیم مییابد. مفهومهای «متغیر» و «تابع» به صورتی آماده و یک باره، برای گالیله، دکارت، نیوتن و یا هر کس دیگری به وجود نیامد، بلکه برای عده زیادی از ریاضیدانان مطرح بود (برای نمونه برای «نپر» در رابطه ب لگاریتم)، سپس نیوتن و لایب نیتس، شکل کم و بیش روشنی به آن دادند، ولی این شکل هنوز قطعی نبود و بعدها با پیشرفت آنالیز تعمیم یافت و دقیقتر شد. تعریف کنونی این مفهومها، تنها در سده نوزدهم داده شد. ولی این تعریف هم «دقیق به صورت مطلق» نیست. با پیشرفت مفهوم تابع در زمان ما هم ادامه داد ]همان سرچشمه[».
به این ترتیب، داشن ریاضی هم، برخلاف آنچه کموبیش شهرت دارد، دانشی جزمی و یقینی و به اصطلاح «دو دو تا چهار تا» نیست. ریاضیات هم همچون رودخانه خروشانی است که پیوسته به پیش میرود و در این پیشرفت، هم از نظر کمی و هم از نظر کیفی در تغییری دایمی است. در ریاضیات هم، همچون همه دانشهای دیگر هیچ حکمی مطلق نیست.
3. بستگی ریاضیات با نظام اجتماعی رابطههای تولیدی. و این رابطه پیچیده و با واسطه است: «... پیشرفت ریاضیات را پیش از همه، باید نتیجه تاثیر متقابل سه عامل دانست: نخست منطق موضوع ریاضیات (که در منطق درونی ریاضیات بازتاب یافته است)؛ دوم تاثیر تولید در ریاضیات با واکنشهای طبیعی. این پیشرفت از راه پرپیچوخم مبارزه تضادها عبور میکند و موجب تغییرهای اساسی، هم در مضمون ریاضیات و هم در شکلهای اساسی آن میشود. پیشرفت ریاضیات بسته به مفهومی است که در موضوع آن وجود دارد. در تحلیل آخر، محرک اصلی این پیشرفت، نیازهای تولیدی است... البته، سادهلوحی است، اگر بخواهیم به وجود آمدن هر نظریه ریاضی معینی را به طور مستقیم، از «قانون تولید»، نتیجه بگیریم. ریاضیات هم مانند همه دانشها دارای استقلال و منطق درونی مربوط به خودش... یعنی قانونی که مربوط به موضوع آن است میباشد.» ]همان سرچشمه[.
نظام اجتماعی و تولیدی و ایدهئولوژی حاکم بر آن، همیشه از خرد دانش، و از آن جمله ریاضیات و روشها و آموزش آن، ولو غیرمستقیم باقی میگذارد. این موضوع را میتوان در تمامی طول تاریخ ریاضیات و در بین تمام ملتها دنبال کرد. در اینجا، برای پرهیز از دراز شدن مطلب، از میان انبوه نمونهها، به چند مورد اکتفا میکنیم:
- جامعه یونان باستان، در دوران به اصطلاح زرین خود، آمیزهای از تضادهای دوران بردگی را به صورت ویژهای نشان میدهد: آزادی نسبی یا «دموکراسی»، تنها برای «آزادها» یعنی بردهداران کوچک و بزرگ بود و برای بردهها، چیزی جز اطاعت کامل وجود نداشت. تمامی کارهای عملی و تولیدی به عهده بردهها بود. و آزادها کار را در شأن خود نمیدانستند. کار ننگ و عار شمرده میشد و آزادها حق نداشتند مقام اجتماعی خود را در حد کارهایی که ویژه بردهها و حیوانها بود، پایین بیاورند. باید بردهها کار میکردند تا فرصت برای «انسان آزاد» باقی باشد که بتواند در چون و چرای طبیعت و خلقت بیندیشد؛ کار یدی خاص بردهها و کار فکری ویژه آزادها بود. طبیعی است در چنین نظامی، دانش هم تعبیر خاص خودش را داشته باشد: به دانش، نه به عنوان دستیار عمل، بلکه به صورت لذت فکری و کشف حقایق پنهانی مینگریستند و به همین دلیل و بیش از هر چیز به فلسفه و ریاضیات ارج مینهادند. اگر از نمونههای نادری همچون ارشمیدس (که خود بردهای آزاد شده بود) بگذریم، در یونان باستان، هیچ تلاشی جدی در زمینه دانشهای تجربی و عملی، انجام نمیگرفت. در زمینه ریاضیات هم، بیشتر به جنبههای انتزاعی آن توجه داشتند و شما میدانید که ریاضیات یونان باستان در حالی که برای نمونه، در زمینه هندسه (که یونانیان آن را مجرد و منزه از کاربرد عملی میپنداشتند) تا مرز هندسه عالی پیش رفت و به عنصرهایی از هندسه عالی هم دست یافت، در حالی که در زمینه حساب و جبر (که کاربرد عملی آنها نمایان بود) نتوانستند حتی گامهای نخستین را بردارند. یونانیها حتی نتوانستند در عددنویسی به دستگاه منظم و شایستهای برسند.
- یونان، در بیشتر کشورهای باستانی دیگر، روح تعبد و زور بر تمامی جامعه حاکم بود. شاه، حاکم مطلق بود و دستورهای او باید بی چونوچرا اجرا میشد. در گوشه و کنار کشور هم، شاهان کوچکتری حکومت میکردند که گاهی هم، ردای مذهب بر خود داشتند و حکمها، بی هیچ مخالفتی بر قلمرو فرمانروایی آنها نافذ بود. هیچکس حق نداشت درباره درستی یا نادرستی این حکمها، حتی در ذهن خود تصوری داشته باشد و میبینیم که این وضع اثر خود را در آموزش ریاضی هم باقی گذاشته است. در رسالههایی که از مصر، بابل، عیلام و مانند آن باقی مانده است، هیچ استدلالی دیده نمیشود و هیچ کوششی در راه قانع کردن خواننده به کار نمیبرد. همهجا راهحلها با جملههایی شبیه «این عمل را انجام بده، به نتیجه میرسی» ارایه شده است. روحیه تعبد و زورگویی چنان بر جامعه حاکم بود که حتی یک ریاضیدان هم در این اندیشه نبوده است که برای راهحلهای خود، نیاز به استدلال دارد. هرچه از بالا گفته میشود، باید پذیرفت؛ وگرنه تمرد و عصیان به حساب میآید. نه قانع کردن لازم است و نه قانع شدن مطلب همین است و بس.
میدانید ریاضیات در سرزمین کهن «میان دو رود» (بینالنهرین) حتی هزاران سال پیش و خیلی پیش از یونانیها، پیشرفت زیادی کرده بود. آنها هزاران سال پیش از فیساغورس از قضیه معروف به قضیه فیساغورس آگاه بودند، تصاعدهای عددی هندسه را میشناختند، مسالههایی را حل میکردند که تا مرز معادلههای درجه سوم امروزی پیش رفته بود، عملهای جذر و مکعب را انجام میدادند و برای آنها جدولهایی تنظیم کرده بودند، هم از دستگاه عددنویسی ده دهی و هم از دستگاه شصت شصتی، آن هم به تقریب به همان صورت امروزی آن، یعنی به صورت موضعی استفاده میکردند. نخستین ملتی بودند که «صفر» را برای مرتبههای خالی به کار میبردند. تقسیمهای امروزی محیط دایره و هر گونه تقسیمبندی زمان، از یادگاریهای آنهاست و ... کلدانیها به جز اخترشناسی و ریاضیات، در رشتههای شیمی، صنایع ساختمانی و پزشکی هم به موفقیتهایی رسیده بودند، ولی همه این دانشها زیر نفوذ مذهب بود. گونههای متفاوت دستورهای مذهبی، زندگی کلدانیها را به هم پیچیده بود. کشفهای اخترشناسی بیشتر به منظور اخترشماری و طالعبینی مورد استفاده قرار میگرفت. دانش دروغینی که معتقد بود گویا از روی وضع ستارههای آسمان، میتوان به اراده خدایان پی برد و آینده را پیشگویی کرد.
ریاضیات هم، نظیر اخترشناسی باید به صورت اساسی به هدفهای خرافی کمک کند. مردم خدایان و روحهای مختلف زیادی را میپرستیدند... عددهای 6 و 7 و 3 و 12 و ... 6 را مقدس میدانستند. از جدولی که در کتابخانه «نینوا» پیدا شده است، این طور معلوم میشود که، برای نمونه، عدد 20 را متعلق به «لبل» عدد 11 را متعلق به «مردوخ»، عدد 30 را متعلق به «سینا» میدانستند. عددهای کسری را متعلق به روحهای پایینتر منسوب میکردند و ... درکلده به خاطر همین گمانهای واهی که درباره عدد داشتند، نوعی عرفان عددیو اعتقاد به عدد، به سرعت پیشرفت کرد. کلدانیها با ترکیب عددهای مقدس و با روشهای پیچیدهای تلاش کردند تا به رازهای طبیعت و خدایان پی ببرند... ]ای. چیستاکوف، مقاله عدد در نیمه خرافهها[
این چند جمله آموزنده را هم از الکساندروف بشنویم: «ریاضیات نه تنها همیشه زیر تاثیر تولید اجتماعی است، بلکه در ضمن از مجموعه شرطهای اجتماعی اثر میپذیرد. پیشرفت درخشان ریاضیات، در دوره اوج یونان باستان، موقعیتهای جبر در دوره رنسانس در ایتالیا، پیشرفت آنالیز در دوره پس از انقلاب انگلستان، موفقیتهای ریاضیات در فرانسه در دورانی که از انقلاب فرانسه آغاز میشود، همه اینها به طور قانعکنندهای بستگی جدانشدنی پیشرفت ریاضیات را به پیشرفت عمومی جامعه در زمینه صنعت، فرهنگ و سیاست نشان میدهد... تاثیر پیشرفت جامعه در دوره بعد از انقلاب اکتبر در شوروی، از این هم بیشتر قانع کننده است. زیرا در این دوره است که بررسیهای پر اهمیت و عمیقی، با سرعتی شگفتآور، یکی پس از دیگری و در تمام جهتها، در نظریه مجموعهها، مکانشناسی (توپولوژی)، نظریه عددها، نظریه احتمال، نظریه معادلههای دیفرانسیلی، آنالیز تابعی، جبر و هندسه انجام گرفت.»]جوهر، روش و کارآیی ریاضیات، در سه جلد از روسی به فارسی برگردانده شده است.[
ولی همانگونه که گفتیم، رابطه ریاضیات با نظام اجتماعی و تولیدی رابطهای غیرمستقیم است و نمیتوان سادهدلانه و برای نمونه از ریاضیات فئودالی یا ریاضیات سرمایهداری صحبت کرد، زیرا در این صورت به طور طبیعی این پرسش پیش میآید که اختلاف ریاضیات دوران بردگی و جامعه فئودالی در کجاست؟ و یا چه مرزی ریاضیات نظام سرمایهداری را از ریاضیات جامعه سوسیالیستی جدا میکند؟ به ویژه پرسش اخیر اهمیت زیادی دارد، زیرا هر دو شکل اجتماعی سالهای زیادی است که در کنار هم وجود دارد.
هیچگونه بررسی دقیقی نمیتواند در ویژگی کشفهای ریاضی دانشمندان اتحاد جماهیر شوروی و فرانسه یا آلمان، اختلاف اساسی پیدا کند. از این گذشته ریاضیدانان اتحاد شوروی به طور گستردهای از نتیجه جستوجوهای دانشمندان آمریکایی و اروپای غربی در کارهای خود استفاده میکنند، همانطور که دانشمندان جهان سرمایهداری هم اغلب با کشفهای دانشمندان شوروی تکیه و مسیرهای فکری آنها را دنبال میکنند. این روشهای تقسیم مرحلهای ریاضی، از این جهت رضایتبخش نیست که براساس جنبههای خاص و غیر اساسی تکامل دانشها قرار گرفتهاند و یا از ویژگیهای درونی ریاضیات که بسیار اساسی است، منحرف شدهاند. وقتی از ریاضیات و مرحلههای آن صحبت میکنیم، در دید اول باید به شرطهای اساسی مربوط به تکامل خود ریاضیات بپردازیم و رابطه این شرطها و علتها و اثر آنها را در کیفیتهایی از نوع شرطهای اقتصادی، رابطه اجتماعی تکامل صنعت و دانشهای تجربی، دیدگاههای فلسفی و غیر آن بررسی کنیم. ]مقاله تاریخ ریاضیات، ریاضیات در شرق برگردان فارسی صفحه 19 و 20[
4. در استدلالهای علمی باید بین تمثیل و استقرا تفاوت گذاشت. تمثیل دشمن دانش است، در حالی که استقرا اگر به طور درستی انجام گیرد، روشی علمی است و میتواند دست کم گرایشهای مسلط را آشکار کند. استناد به تمثیل، گونهای کودکانه از استدلال است و اگر در شیوههای علمی راه یابد، به ویژه اگر همین شیوه غیر علمی هم بر پایه افسانههای مشکوک بنا شده باشد، استناد به داستانهای دروغین مانند «نیوتن افتادن سیب را از درخت دید و به قانون جاذبه پی برد» یا «ارشمیدس در حمام داخل آب رفت و یکباره قانون مربوط به جسم شناور را در داخل آب کشف کرد» به تمسخر گرفتن دانش است. آنها میخواهند «ثابت کنند» که همه چیز تصادفی است و بستگی به این یا آن شخصیت، این یا آن حادثه دارد. میخواهند تلقین کنند که نباید بیهوده به دنبال قانون و حرکت تعاملی رفت. پیشرفت و تکامل وجود ندارد، گاهی و در بعضی حالتها به وسیله برخی کسان، کشفهایی میشود، ولی جریانی برای پیشرفت وجود ندارد. یا طبیعت و جامعه قانونمند نیست و یا انسان قادر به کشف این قانونها نمیشود و طبیعی است ریشه بحث و «استدلال» آنها در اینجاست که به ویژه قانونمندی تکامل جامعه را منکر میشوند: بشر همیشه به پیش نمیرود، گاهی به جلو و گاهی به عقب میرود قانونی وجود ندارد، تنها پیشآمدهایی در اینجا و آنجا به تصادف رخ میدهد و تازه هر تحولی و هر انقلابی در جامعه انسانی، به معنای تکامل جامعه نیست، چرا که (باز هم تمثیل را به یاری میگیرند) بعد از انقلاب فرانسه، دیکتاتوری ناپلئون آمد؛ انقلاب مشروطه ایران منجر به روی کار آمدن رضاخان شد و ...
به «گرایش مسلط» اشاره کردیم. گرایش مسلط یعنی چه؟ گرایش مسلط یعنی قانون اساسی یک پدیده در جریان حرکت پیش رونده و تکاملی آن، نه اینکه در بخش عنصرهای آن پدیده، صدق کند. وقتی میگوییم رودخانه کرج در حرکت است و به طرف سد کرج میرود، به این معنا نیست که همه قطرههای آب این رود، به سد میرسد: برخی در زمین فرو میروند، برخی بخار میشوند، برخی به مصرف آبیاری میرسند، در برخی جاها، حرکتهای دورانی و گردابی ایجاد میشود و حتی در برخی جاها حرکت به عقب وجود دارد، ولی قانون اساسی رود این است که به طرف سد حرکت میکند. این گرایش مسلط است.
اگر تنها به بخشهایی از آب رود توجه کنیم، به جز حالتهای تصادفی به چیز دیگری برنمیخوریم. ولی در واقع، قانون کلی یا قانون اساسی از میان همین تصادفها راه خود را میگشاید به عنوان نمونه، انتقال شن را ضمن جریان آب رو در نظر میگیریم این انتقال به صورت معمول به این ترتیب پیش میآید: سنگریزههای بسیاری در کف به آرامی قرار گرفتهاند و تنها گاهبهگاه، چرخشهای نیرومندی در نزدیکی کف، شنهای جداگانهای را دربرمیگیرد و ناگهان متوقف میشوند. حرکت هر کدام از این شنها را میتوان به صورت خالص نظری، بنا بر قانون هیدروستاتیک محاسبه کرد. ولی برای این منظور، باید از حرکت نخستین کف و جریان در تمامی بخشها آگاهی داشت و آن را گامبهگام حساب آورد. به لحظههایی توجه کنیم که فشار بر سنگریزه آرام، برای به حرکت درآوردن آن کافی است. همچنین مراقبت جابهجایی و حرکت سنگریزهها تا لحظه توقف آنها باید وجود داشته باشد. سهل بودن چنین مسالهای برای یک بررسی علمی واقعی روشن است. ولی با این همه، بررسی حرکت میانگین یا به اصطلاح قانونمندی آماری آبرفتهای زمینهای جریانهای آبی، به طور کامل نیاز داریم.
از این نمونهها، که به خاطر عمل تعداد زیادی عاملهای تصادفی در آنها، استناد به قانونمندی آماری روشن به نظر میرسد، کم نیست. یکی از جالبترین نمونهها از این نوع، نظریه سیستیک گازهاست که نشان میدهد چگونه عمل مشترک مجموعه برخوردهای تصادفی مولکولها قانون دقیقی به وجود میآورد که فشار گاز را، به عنوان یک مجموعه واحد بر دیواره و انتشار گاز را در دیگری معین میکند. ]آندره تولموگورف در «نظریه احتمال» در کتاب «جوهر، روش و کارآیی ریاضیات» جلد دوم برگردان فارسی.[
در اینجا دو مطلب متفاوت دیگر هم از طرف اعتراضکنندگان آورده میشود: وقتی که میگوییم رود، دیگر منظور ما قطرههای آب رود به صورت جداگانه نیست. رود در عین حال که از قطرههای آب درست شده است، خود یک مفهوم عینی جداگانه است. شما میگویید سالهاست که رودخانه کرج در جریان است. این، حکمی درست است، ولی به معنای آن نیست که هر قطره آب آن، سالهاست که جریان خود را ادامه میدهد. رودخانه ویژگیهای دارد که بسیار پیچیدهتر از ویژگیهای یک قطره آب است. همچنان که ویژگیهای جامعه با ویژگیهای فرد و به طور کلی، ویژگیهای هر کل با عنصرهای تشکیل دهنده آن متفاوت است. عنوان این مطلب که کل از اجزای خود تشکیل شده است، به معنای نفی سادهترین قانونهای علمی است. هیدروژن میسوزد، اکسیژن موجب سوختن میشود، ولی آب، که ترکیبی از همینهاست، نه میسوزد و نه میسوزاند، بلکه آتش را خاموش میکند.
5. مفهوم تکامل در ریاضیات
در آغاز این چند جمله را از آلکساندروف در «نظریه کلی به ریاضیات» در کتاب «جوهر، روش و کارآیی ریاضیات» بخوانید: میتوان گفت، ریاضیات، رابطههای کمی را با توجه به آنچه در تعریفها وجود دارد، بررسی میکند. به این ترتیب نتیجهگیریهای ریاضی را از روش استدلالی که از تعریف سرچشمه میگیرد، به دست میآورند. البته این موضوع را نباید به طور سطحی فهمید و گمان کرد که پیش از پیدایش نظریه مربوط ریاضی، تعریفهای دقیق و منطقی از مفهومهای آن نظریه وجود دارد. در واقع، خود مفهومها، همراه با پیشرفت نظریه و در نتیجه پیشرفت نظریه، دقیقتر میشود. تحلیل عمیق مفهوم عدد درست، تنظیم دقیق اصلهای هندسی، در آخرهای سده نوزدهم داده شد، نه در دوران کهن اشتباه است. اگر گمان کنیم که مفهوم معین و دقیقی در ریاضیات وجود دارد. هر مفهومی، گرچه از دیدگاه تعریف، دقیقتر به نظر آید، باز هم تغییر میکند و همراه با پیشرفت دانش، تکامل مییابد و دقیقتر میشود ... پیشرفت ریاضیات نه تنها در این باره، بلکه درباره تمام مفهومهای ریاضیات، این نظر را تایید میکند. بنابراین، یک بار دیگر این اصل اساسی دیالکتیک ثابت میشود که در جهان هیچچیز بدون حرکت و بدون روند پیشرفت وجود ندارد...
ریاضیات دانشی انتزاعی است، یعنی با جدا کردن ویژگیهایی از ماده، یعنی کمیت و شکل فضایی، جنبههایی از خاصیتهای ماده را، به صورتی تجریدی و انتزاعی، کشف میکند. وقتی از قانون تکامل صحبت میکنیم، میتوان به یکی از دو جنبه روندهای تکاملی نظر داشت: جنبه اول بررسی تکاملی خود ماده را دربرمیگیرد که به ترتیب کار کیهانشناسی، فیزیک، شیمی، زیستشناسی و سرانجام جامعهشناسی است. جنبه دوم به بررسی تکامل شناخت و در نتیجه پیشرفت قانونهای علمی ـ که البته بازتابی از قانونهای طبیعت عینی، یعنی میدان قلمرو ماده در ذهن بشر است ـ مربوط میشود. به این ترتیب، در ریاضیات، صحبتی از یک قانون تکامل ماده نیست. اینجا یکی از عرصههای شناخت آدمی است، آن هم به انتزاعی صورت ممکن؛ و طبیعی است، هرچه شناخت آدمی از جهان بیرون به مفهوم عام خود، روشنتر و دقیقتر باشد، همراه با آن، شناخت ریاضی او هم پیچیدهتر و در ضمن ملموستر میشود.
در ریاضیات، همچون هر دستگاه دیگری دو نیروی اساسی اثرگذار است و موجب پیشرفت آن میشود. یکی از درون که همان عامل منطق درونی ریاضیات است و دیگری از بیرون، عامل بیرونی تکامل ریاضیات را باید در نیازهای جامعه، پیشرفت دانشهای دیگر و نیازهای که به ریاضیات پیدا میکند، در رابطههای اجتماعی و اقتصادی و ... جستوجو کرد.
همانگونه که پیش از این هم دیدیم، مفهوم تکامل ریاضیات را باید در تکامل مفهومها، تعریفها، پیدایش شاخههای تازه، به هم پیوستن درباره آنها، گسترش کاربرد ریاضیات و ... دانست. ریاضیات هم مانند هر دانش دیگری، بازتابی از قانونهای موجود در طبیعت و به تعبیری کلیترین آنهاست. بنابراین از جهتی میتوان گفت که ریاضیات هم روشی برای کشف قانونهای طبیعت است و با تکامل خود، به وسیلهای روز به روز مجهزتر برای درک کلیترین این قانونها، تبدیل میشود. هرچه زندگی عملی جامعه پیچیدهتر و هرچه دامنه نفوذ دانشها در طبیعت گستردهتر شود، به ناچار بیان ریاضی آنها هم پیچیدهتر و گستردهتر میشود و تکامل، یعنی همین حرکت به سوی پیچیدگی و گستردگی.
پیشرفت ریاضیات به پیشرفت صنعت و دیگر دانشها یاری میرساند و آن وقت همین پیشرفت صنعت و دانش، دوباره انگیزهای برای پیشرفت بعدی ریاضیات میشود. تاریخ ریاضیات نظری را به چهار دوران مختلف میتوان بخش کرد:
1. دوران زایش ریاضیات؛
2. دوران ریاضیات مقدماتی؛
3. دوران ریاضیات با کمیتهای متغیر؛
4. و سرانجام دوران ریاضیات امروزی.
آغاز دوران نخست در ژرفای سدههای گذشته گم میشود. تردیدی نیست که مفهومهای اصلی ریاضیات همراه با آغاز زندگی انسانهاست: حتی در مرحلههای ابتدایی انسان نخستین، تصور عدد و فاصله؛ به صورتی ناآگاهانه وجود داشته است. نیازهای زندگی اقتصادی وا میداشت که هنر محاسبه اندازهگیری طول و سطح و حجم تکامل یابد. ذخیره آگاهیهایی که روی هم انباشته میشد، به ترتیب زیاد میشد. ولی این هنوز حکم یک مجموعه پراکنده را داشت و به عنوان عنصرهایی از یک رشته مستقل دانش که موضوع ویژه و روشی خاص برای بررسی داشته باشد، احساس نمیشد.
میتوان پایان دوران زایش ریاضیات را تا 6 سده پیش از میلاد دانست. ولی این یک تاریخ مشروط است، زیرا بسیاری از ملتها، خیلی دیرتر در درک ریاضیات، در این مرحله نخست تکامل قرار گرفتند (و یا هنوز قرار میگیرند) ... در این دوران پیریزی ریاضیات مقدماتی انجام گرفته است، انسانهای ناشناختهای با کار خلاق خود و براساس تجربههای بسیار، مسالههایی را طرح کردند و به گنجینه دانش بشری افزودند. این آفرینندههای دانش بشری، زیر تاثیر زندگی اقتصادی به کشفهای خود جهت دادند و به تدریج قابلیت انجام عملهای حسابی را روی عددهای درست به دست آوردند. سپس به بررسی عددهای کسری راهنمایی شدند و آغاز به محاسبه حجم جسمهایی کردند که کموبیش بغرنج بود. در همین دوران وسیلههای کمکی برای محاسبه اختراع شد. گرچه این اختراعها از نظر ما بسیار ساده است و گرچه دانش در این دوران بسیار ابتدایی است، ولی همین گامهای نخستین، پایههای اساسی پیشرفت فرهنگ انسانی را ریخت.
اگر انسان امروز دارای قدرت و دانش بیاندازهای است، تنها به این معناست که نسلهای پشت سر هم، با تکیه بر تجربهها و کشفهای نسلهای پیشین توانستند مرتب سطح دانش خود را بالا ببرند. روشن است، برای دانش ریاضی در این دوران باستانی، بیش از همه، بررسی یادداشتها و صورتحسابهای مربوط به زندگی اقتصادی آن زمان، اهمیت دارد.
دوران دوم، به طور طبیعی دوران ریاضیات مقدماتی نامیده میشود، آنچه ما امروز به طور کلی در دبیرستان یاد میگیریم، در این دوران شکل گرفته است. ولی آنچه به طور اساسی ریاضیات این دوران را از ریاضیات پیشین جدا میکند، این است که مفهومها به صورتی عملی درآمدند. به ویژه سدههای ششم پیش از میلاد تا سدههای پنجم پس از میلاد را میتوان آغاز تنظیم ریاضیات، به عنوان دانشی که موضوع ویژه خود و روش بررسی ویژه خود را دارد. ریاضیات از مجموعه پراکنده و نسخههایی را که برای زندگی معیشتی مورد استفاده قرار میگرفت، به دستگاهی با معرفت علمی تبدیل شد. در این دوران هندسه، اساس نظریه عددها جبر، مثلثات روی صفحه و مثلثات کروی به نظم درآمد. حقیقتهای ریاضی به سختی و به تدریج خود را از قید تجربه آزاد میکردند و درستی آنها، که نه در مشاهده و پژوهش روی خاص، بلکه با روشهای منطقی اثبات و درباره همه حالتهای ممکن تایید میشد.
پایان دوران دوم را باید آغاز سده هفدهم دانست، زمانی که دیگر به خاطر نیاز به بررسی حرکت و تغییر از نظر ریاضیات، اندیشهها و مفهومهای تازهای در ریاضیات به وجود آمد. بیتردید مفهومهای تازه به مسالههایی نزدیک بود که در برابر جامعه انسانی خودنمایی میکرد. اگر به یاد بیاوریم که این دوران، زمان کشفهای بزرگ جغرافیایی و تکامل بیاندازه دریانوردی و توجه بیش از اندازه به آگاهیهای اخترشناسی است، اگر به یاد بیاوریم که همین دوران، زمان رشد سریع تولید کارگاهی و پیشرفت توپخانه است، متقاعد میشویم که همه مسالههایی که به این مناسبتها طرح میشد، نمیتوانست براساس جبر و هندسه مقدماتی حل شود. به اندیشهها و مفهومهای تازهای نیاز بود که در واقع، به وجود هم آمدند. این اندیشهها در نقطههای مختلفی از اروپا و به ویژه در کشورهایی که صنعت و تجارت رونق بیشتری گرفته بود، پیدا شد. به این ترتیب بود که شرطهای پیدایش دوران سوم ریاضیات فراهم شد.
دوران ریاضیات با کمیتهای متغیر، به این ترتیب مشخص میشود که، ریاضیات به بررسی روندها میپردازند. در دید نخست، ریاضیات این دوران، مربوط به پژوهش و بررسی کمیتهای متغیر یک تابع است. به رشتههای ریاضی که در سابق وجود داشت، هندسه تحلیلی و آنالیز ریاضی هم اضافه شد. بنابراین کمیتهای متغیر در سر فصل ریاضیات قرار گرفت. بررسی شکلهای فضایی هم به یاری آنالیز ریاضی آمد. ولی در هرحال، ریاضیات از حوزه فضای سه بعدی خارج نشد و همین قانونهای کمیتی تنها به وسیله کمیتهایی بیان میشد که مقدارهای عددری را قبول میکردند. چه مقدارهای متغیرها و چه مقدارهای تابعها تنها میتوانستند مقدارهای عددی باشند.
روشن است دوران سوم، نه تنها برای خود ریاضیات مرحله تکامل بزرگی بود، بلکه برای تعبیر ریاضی پدیدههای طبیعت و هم برای پیشرفت صنعت، بارور و سازنده بود.
با تکیه بر پیشرفت آنالیز ریاضی توانستند قانونهای اساسی فیزیک را به صورت ریاضی بیان کنند. از راه محاسبه به کشف تازهای درباره پدیدههای فیزیکی رسیدند که تا آن زمان از راههای تجربی مشاهده نشده بود. یکی از نمونههای درخشان نیروی آنالیز ریاضی در شناخت پدیدههای طبیعت، کشف سیاره تازه دستگاه خورشیدی که به تقریب در یک زمان به وسیله دو اخترشناس ـ آدامس و له ووریه ـ انجام شد. بعدها در 1830، از همین راه، پلوتون، سیاره نهم دستگاه خورشیدی هم کشف شد که مدار آن پیش از آن، در 1815 و به وسیله لیوویل اخترشناس آمریکایی محاسبه شده بود.
ولی سده نوزدهم تنها سده پیشرفت کمیتی ریاضیات نبود، تنها امکانهای تازه بررسی پدیدههای طبیعت را از دیدگاه ریاضی به همراه نداشت، بلکه تاثیر جدی و متقابل دانشهای تجربی و ریاضیات در یکدیگر منجر به تغییر کیفی خود ریاضیات شد. به مناسبت این تغییرها در نیمه دوم سده نوزدهم ریاضیات چهره خود را چنان به طور اساسی و جدی تغییر داد که دیگر به آستانه تازه، یعنی مرحله چهارم خود رسیده بود.
چه جنبههایی این مرحله چهارم را از سه مرحله پیش از خود جدا میکند؟ بیش از همه موضوع بررسی ریاضیات، بیاندازه گسترش یافته است. ریاضیات علاوه بر کمیتهای عددی، کمیتهای دیگری از نوع بردارها، تانسورها و اسپینورها را هم مورد استفاده قرار داده است.
همراه با فضای سه بعدی اقلیدسی، به بررسی فضاها و مسالههایی میپردازد که طبیعتی به کلی متفاوت دارند. درستی منطقی هندسههای نااقلیدسی مانند هندسه اقلیدسی ثابت شده است. فضاهای چند بعدی و سپس فضاهای n بعدی بررسی شده است که تا اندازهای زیادی به وسیله فیزیک در برابر ریاضیات قرار دارد. مضمون جبر، به صورتی اساسی تغییر کرده است. جبر از دانشی که به بررسی روش حل معادلههای جبری میپرداخت، به دانشی تبدیل شده است که دستگاههایی از چیزها را با طبیعتهای مختلف را بررسی میکند و درباره آنها عملهایی را انجام میدهد که از لحاظ ویژگی، بیشباهت به عملهای جمع و ضرب نیست.
تمامی سبک و اندیشه ریاضی دگرگون شده است و ریاضیدانان با هم موضوعهایی درباره نیاز به گسترش دایره این مفهومها طرح میکنند. اگر پیش از این صدها سال به درازا میکشید تا عددهای منفی یا عددهای مختلط به رسمیت شناخته شوند، امروز به هر اندازه که لازم باشد، دستگاههای جبری با کیفیتهای مختلف ساخته میشود. در نمونه هندسه لباچوسکی، امکانهای به وجود آوردن نظریههای ریاضی تازهای از راههای به کلی انتزاعی مطرح است. با وجود این، به صورت قطعی روشن شده است که نظریه ریاضی که به این ترتیب ساخته میشود، قابلیت انعطاف فوقالعادهای برای توصیف پدیدههای طبیعت دارد. روشن شده است، به همان اندازه که ریاضیات به سوی انتزاع میرود، به همان اندازه که به ظاهر از مشاهده مستقیم پدیدههای طبیعت دور میشود، به همان اندازه هم نیرومندتر میشود و امکان بیشتری برای بررسی مجموعه ویژگیهای طبیعت به دست میآورد.
به این ترتیب در عین حال که جوهر ریاضیات توسعه یافته در دو جهت مفهومهای تازهای تکامل پیدا کرده است، بیاندازه عمیقتر شده است و ارتباط همه جانبه و بینظیری با دانشهای تجربی و کارهای عملی پیدا کرده است. برای نمونه، میتوان از خودکار کردن اداره سازمانهای تولیدی نام برد که با استفاده گسترده از ماشینهای حساب الکترونی (که براساس توضیح ریاضی و منطقی روند صنعت ساخته شدهاند) پیشرفت بیاندازه کرده است. (کنه دنکو «درباره تاریخ ریاضیات» برگردان فارسی در کتاب «ریاضیات در شرق» صفحههای 20 تا 24)
درباره تکامل مفهومهایی که در دوران ریاضیات وجود دارد، میتوان به تعداد این مفهومها نمونه آورد که در همین مقاله هم به برخی از آنها اشاره کردیم. در اینجا، به کوتاهی درباره «تکامل مفهوم عدد» میپردازیم.
امروز هر کودک چهار یا پنج ساله، حتما پیش از آن که آموزش رسمی دیده باشد، میتواند مجموعههای کوچک را با هم مقایسه کند و عضوهای یک مجموعه محدود کوچک را بشمارد. ولی اگر به تاریخ ریاضیات مراجعه کنیم، متوجه میشویم که تصور انتزاعی مفهوم عدد، یکی از دشوارترین مرحلهها در درک و شناخت آدمی بوده است. انسان در هر مرحلهای از تکامل خود میتوانست حساب اسبها و یا سگهای خود را داشته باشد، ولی این هنوز به معنای درک مفهوم عدد انتزاعی نیست: پنج اسب با پنج درخت فرق داشت نیروی بیاندازه اندیشه لازم بود تا انسان بتواند مفهوم انتزاعی «پنج» را به عنوان ویژگی مشترک همه اینها بیرون بکشد و از «پنج» به معنای مطلق آن صحبت کند. تکامل در مفهومهای ریاضی، یعنی توانایی بیشتر و بیشتر در ایجاد و انتزاعهای پیاپی، که نتیجه آن از یک طرف منجر به پیچیدگی بیشتر و از طرف دیگر گسترش بیشتر کاربرد آن میشود.
نخستین انتزاع در مسیر تکامل مفهوم عدد، انتزاع از چیزهایی که وابسته به آن است، انجام گرفت و به دنبال آن نشانههایی برای بیان این مفهوم انتزاعی شکل گرفت. توجه به این نکته لازم است که انسان نمیتواند هیچ مفهوم انتزاعی بدون نوعی دستگیره مادی تصور کند. اگر شما با کسی سروکار داشته باشید که از عددنویسی هیچ آگاهی نداشته باشد، وقتی بگویید «پنج» بی شک بسته به نوع زندگی او، «پنج چیز» را در نظر مجسم میکند. اگر باغبان است پنج درخت و اگر تخممرغ فروش است پنج تخم مرغ. ولی برای شما که با عددنویسی آشنا هستید و به آنها عادت کردهاید با گفتن واژه «پنج» نماد «5» جلو چشمانتان مجسم میشود. در اینجا نماد «5» نقش همان جسم مادی مفهوم «پنج» را به عهده دارد. به همین مناسبت، وقتی از عدد بزرگی مانند «دو هزار و سیصد و پنجاه و هفت» سخن به میان آید، برای باغبانی که با عددنویسی آشنا نیست، مجموعهای مبهم و درهم از انبوهی درخت مجسم میشود، ولی برای شما نماد «2357» به تندی از ذهنتان میگذرد. این به معنای آن نیست که شما توانستهاید مقدار این عدد را به خوبی درک کنید. برای نمونه: اگر از شما بپرسند 2357 تخممرغ در چه نوع صندوق و با چه اندازههایی جا میگیرد، به احتمال قوی نمیتوانید بدون محاسبه پاسخ درستی بدهید. در اینجا ذهن تنها دستگیرهای پیدا کرده است (نشانههای عددنویسی) که به یاری آن بتواند برای بیان یک عدد نوعی تجسم مادی برای آن داشته باشد. انتزاع مفهوم عدد در همینجا متوقف نشد. در مرحله بعدی، «مفهوم کلی عدد» از «مفهوم خاص هر عدد جداگانه» بیرون آمد. نماد a یا x به کار گرفته شد که میشود به جای آن هر عدد دلخواه را قرار داد. از درون این مفهوم (که در مرحله بالاتری از انتزاع قرار داشت)، عبارتهایی از نوع یا به وجود آمد (که به معنای حرکت و عمل درون این مفهوم بود) و این خود زمینه را برای مرحله بعدی انتزاع فراهم کرد. در مرحله بعدی، دیگر نه با a یا x، بلکه با یا سروکار داریم و ...
ولی این تنها یک سمت از تکامل مفهوم عدد را نشان میدهد. مفهوم عدد در سمتهای دیگری هم پیش رفته است که از عدد محدود درست و مثبت (مانند 5 یا 14) آغاز و به عددهای مختلط (دو بعدی) و عددهای n بعدی و بی نهایت بعدی رسیده است. مسیری که مفهوم عدد در این روند تکاملی خود پیموده است، بسیار بغرنج و دارای مرحلههای بسیار زیادی است: وارد شدن عددهای کسری و دهدهی و در نتیجه پدیدار شدن عدد گویا: رسیدن به مفهوم عدد گنگ (به عنوان عددی که نمیتوان آن را برابر نسبت دو عدد درست بیان کرد) و در نتیجه شکل گرفتن مفهوم عدد حقیقی. از سوی دیگر ورود عددهای منفی و بعد عددهای موهومی و مختلط که منجر به تشکیل عددهای جبری و بعد «ترانساندانت» (با غیر جبری) شده است.
عدد به عنوان مضمون اصلی شناخت کمیت، وارد حساب میشود، ولی در این راه هم مفهوم عدد (یا دقیقتر، مفهوم کمیت) تکامل پیدا کرد و به مفهومهای بردار و تانسوز و غیر آن رسید.
وقتی به مفهوم تکامل عدد توجه میکنیم، نکتهای برای ما روشن میشود؛ وقتی عدد از مرحلهای به مرحله بعدی تکامل مییابد، به معنای آن نیست که شکل قبلی آن از بین میرود و جای خود را به شکل بعدی میدهد. در همان حال که در نتیجه جمع شدن شرطهای لازم، مفهوم عدد، خود را از چهارچوب تنگ پیشین رها میکند و به مفهومی انتزاعیتر و یا گستردهتر میرسد، شکل پیشین آن هم باقی میماند و هر دو شکل در کنار هم، به زندگی ادامه میدهند. امروز هم در ریاضیات بغرنج زمان ما، به همان ترتیب که از انتزاعیترین مفهومها استفاده میشود، مفهوم عدد مثبت درست هم اهمیت خود را از دست نداده است. تکامل نه به عنوان تبدیل کامل نوعی به نوع دیگر (و در نتیجه از بین رفتن نوع پیشین) و نه حتی به معنای جانشینی نوع دوم است. تکامل را باید به این معنا گرفت که «نوعها» به ترتیب بغرنجتر و متنوعتر میشوند و به این مفهوم (یعنی به سوی بغرنجی بیشتر و تنوع بیشتر)، هیچ مفهومی در ریاضیات وجود ندارد که از همان آغاز پیدایش خود در مسیر تکاملی نباشد.
منبع: دانش و مردم